Научная школа по ОУ

suminy2

Научная школа «Математическая теория оптимального управления»

Научная школа основана доктором физико-математических наук, профессором Владимиром Ивановичем Плотниковым. В 60–70-х годах прошлого века В.И. Плотниковым была предложена общая теория получения необходимых и достаточных условий оптимальности в задачах оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами.

В настоящее время школу возглавляют ученики В.И. Плотникова – доктора физико-математических наук, профессора, Почетные работники высшего профессионального образования Российской Федерации Владимир Иосифович Сумин и Михаил Иосифович Сумин. Коллектив научной школы проводит активные исследования как в области математической теории оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами, так и различных ее приложений. В рамках школы: разработаны основы теории условий оптимальности в негладких задачах оптимального управления и в задачах оптимизации разрывных динамических систем со скользящими режимами, разработаны основы секвенциальной теории оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами, предложен метод двойственной регуляризации для исследования и решения широкого класса задач оптимизации, оптимального управления, обратных задач, предложен и разработан метод вольтерровых функционально-операторных уравнений в теории оптимизации распределенных управляемых систем (глобальная разрешимость управляемых систем, условия оптимальности, численная оптимизация, дифференциальные игры).

Направления научной деятельности школы в последние десятилетия – условия оптимальности в задачах оптимизации распределенных и сосредоточенных управляемых систем, функционально-операторные уравнения и их применения в оптимальном управлении и математической физике, теория секвенциальной оптимизации управляемых систем, теория регуляризации неустойчивых задач оптимального управления и ее приложения, методы численной оптимизации управляемых начально-краевых задач, дифференциальные игры.

Основные научные результаты деятельности школы в указанных направлениях в последние десятилетия:

Условия оптимальности в задачах оптимизации распределенных и сосредоточенных управляемых систем

Для широкого класса эволюционных управляемых систем, описываемых вольтерровыми функционально-операторными уравнениями дано обоснование предложенной В.И. Плотниковым схемы получения необходимых условий оптимальности первого порядка (В.И. Сумин).

Предложен аксиоматический подход в теории вариаций функционалов распределенных оптимизационных задач. Для таких задач разработана теория сильно вырожденных особых управлений, на которых вместе с условиями оптимальности первого порядка (например, принципом максимума) вырождаются и условия второго порядка. Получены общие (в терминах вольтерровых функционально-операторных уравнений) условия сильного вырождения особых управлений и условия их оптимальности. (В.И. Сумин) Получены соответствующие условия для конкретных оптимизационных задач, связанных с уравнениями в частных производных (В.И. Сумин, И.В. Лисаченко).

Показано, как функционально-операторное описание начально-краевых задач помогает «преодолевать» сингулярность (в смысле Ж.-Л. Лионса) распределенных управляемых систем и получать необходимые условия оптимальности в сингулярном случае классическим методом. Решен ряд задач о получении «сингулярных систем оптимальности», поставленных в известной монографии Ж.-Л. Лионса «Управление сингулярными распределенными системами, М.: Наука, 1987». (В.И. Сумин)

Разработана теория необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина в задачах оптимального управления скользящими режимами для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, решения которых понимаются в смысле А.Ф. Филиппова, рассмотрен общий случай, когда оптимальная траектория скользит по поверхности разрыва в моменты времени из произвольного замкнутого множества (М.И. Сумин).

Предложен общий метод получения необходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами с поточечными фазовыми ограничениями, основанный на аппроксимации исходной задачи задачами с конечным числом функциональных ограничений и вариационном принципе Экланда (М.И. Сумин)

Введено понятие двухпараметрического игольчатого варьирования управлений в задачах оптимального управления распределенными системами, опирающееся на свойства их обобщенных решений из классов функций, обладающих частными обобщенными производными. Показана его целесообразность и эффективность при получении необходимых условий оптимальности в задачах оптимизации для параболических, эллиптических и гиперболических уравнений (М.И. Сумин)

Функционально-операторные уравнения и их применения в оптимальном управлении и математической физике

Введена и изучена новая конструкция «вольтеррово функционально-операторное уравнение», позволяющая единообразно описать широкий класс начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений в частных производных (параболических, гиперболических, интегро-дифференциальных, с разного рода запаздываниями и др.) и адекватная многим проблемам теории оптимального управления распределенными системами. Разработан метод вольтерровых функционально-операторных уравнений в теории оптимизации распределенных систем. (В.И. Сумин)

Введено и подробно изучено новое понятие «функциональный оператор, вольтерров на системе множеств», являющееся многомерным обобщением известного (введенного А.Н. Тихоновым) понятия «функциональный оператор типа Вольтерра» (В.И. Сумин). Получен признак квазинильпотентности функциональных операторов, вольтерровых на системах множеств, удобный в приложениях и более общий по форме, чем известный признак П.П. Забрейко. (В.И. Сумин, А.В.Чернов)

Введено и изучено новое понятие «равностепенная квазинильпотентность семейства операторов», оказавшееся необходимым при изучении проблемы сохранения (при возмущении управляющих воздействий, которые могут осуществляться через посредство функциональных параметров и операторов) глобальной разрешимости вольтерровых функционально-операторных уравнений и управляемых начально-краевых задач для уравнений в частных производных. (В.И. Сумин)

Получены общие условия сохранения глобальной разрешимости вольтерровых функционально-операторных уравнений (В.И. Сумин) и вольтерровых операторных уравнений (В.И. Сумин, А.В. Чернов), позволившие найти ряд новых конкретных достаточных условий сохранения глобальной разрешимости управляемых начально-краевых задач при возмущении правых частей и старших коэффициентов уравнений, начальных и краевых условий (В.И. Сумин, А.В. Чернов, И.В. Лисаченко, О.А. Беляева). Теоремы об условиях сохранения глобальной разрешимости нашли применения в теории условий оптимальности (В.И. Сумин, И.В. Лисаченко), при обосновании численных методов оптимизации (В.И. Сумин, А.В. Чернов) и др.

Получены условия выпуклости множеств глобальной разрешимости и множеств достижимости распределенных управляемых систем, условия управляемости и условия тотальной (то есть для всех допустимых управлений) глобальной разрешимости таких систем; эти результаты нашли разнообразные применения, в частности, при обосновании численных методов оптимизации. (А.В. Чернов)

Введено новое понятие «вольтеррова функционально-операторная игра», позволившее с единых позиций взглянуть на дифференциальные игры, связанные с распределенными управляемыми системами, и получить ряд новых результатов теории таких игр. (А.В. Чернов)

Теория секвенциальной оптимизации управляемых систем

Разработана общая аксиоматическая теория секвенциальной оптимизации сосредоточенных и распределенных систем (теория субоптимального управления) со сложными операторными ограничениями, основанная не на понятии оптимального элемента, а на понятии обобщенной минимизирующей последовательности или, другими словами, понятии минимизирующего приближенного решения в смысле Дж. Варги. В ней, частности, установлена теснейшая связь субдифференциальных свойств полунепрерывных снизу функций значений параметрических задач оптимального управления с необходимыми и достаточными условиями оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, с условиями нормальности, регулярности, анормальности оптимизационных задач (М.И. Сумин)

Получены необходимые и достаточные условия на элементы минимизирующих приближенных решений в смысле Дж Варги в параметрических задачах оптимального управления гиперболическими системами с поточечными фазовыми ограничениями (М.И. Сумин, В.С. Гаврилов), разработана теория существования слабых решений начально-краевых задач для полулинейных гиперболических уравнений в дивергентной форме (В.С. Гаврилов)

Получены необходимые и достаточные условия на элементы минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги в параметрических задачах оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами с приближенно известными исходными данными (М.И. Сумин, Е.В. Фролагина (Трушина))

Теория регуляризации неустойчивых задач оптимального управления и ее приложения

Предложены и изучены методы двойственной регуляризации, итеративной двойственной регуляризации для исследования и решения широкого класса бесконечномерных выпуклых и нелинейных (невыпуклых) задач математического программирования и оптимального управления с функциональными и операторными ограничениями, получены различные теоремы сходимости этих методов (М.И. Сумин)

Введены понятия устойчивых секвенциальных или, другими словами, регуляризованных принципа Лагранжа, теоремы Куна-Таккера, принципа максимума Понтрягина в задачах математического программирования и оптимального управления. Формулируются регуляризованные «условия оптимальности» как теоремы существования минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги. Структурно они устроены так же, как их одноименные классические аналоги, которые можно трактовать как «предельные» варианты регуляризованных условий. Отличительной особенностью регуляризованных «условий оптимальности» по сравнению с классическими аналогами является устойчивость к ошибкам исходных данных оптимизационных задач и возможность применения их как инструментов для непосредственного практического решения неустойчивых оптимизационных и сводящихся к ним задач (М.И. Сумин)

Доказана на основе «нелинейной» двойственной регуляризации устойчивая секвенциальная теорема Куна-Таккера в задаче нелинейного (неыпуклого) программирования, допустимое множество которой, а также образы задающих ограничения операторов лежат в гильбертовых пространствах, показана ее применимость в задачах оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами (М.И. Сумин, А.В. Канатов)

Разработана теория двойственной регуляризации в задачах выпуклого программирования, допустимые множества которых, а также образы задающих ограничения операторов лежат в равномерно выпуклых банаховых пространствах, показана целесообразность и эффективность этой теории для исследования и решения задач оптимального управления распределенными системами (М.И. Сумин, А.А. Горшков)

Разработан метод двойственной регуляризации для решения ряда обратных задач атмосферного электричества (А.В. Калинин, А.А. Жидков, М.И. Сумин)

Получены различные версии устойчивых секвенциальных принципов Лагранжа в обратной задаче финального наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближениях (А.В. Калинин, А.А. Тюхтина, М.И. Сумин)

Разработаны новые устойчивые к ошибкам исходных данных основанные на двойственной регуляризации алгоритмы для решения конкретных обратных задач физической диагностики, связанных, в частности, с ультранизкочастотным зондированием электропроводимости земной коры, с подповерхностной ближнепольной электромагнитной диагностикой и сканирующей томографией, с восстановлением глубинных профилей комплексной диэлектрической проницаемости грунта по данным многочастотных СВЧ измерений, с восстановлением профиля диффузионных неоднородностей в периодических многослойных наноструктурах рентгеновской оптики по данным многочастотных измерений коэффициента отражения по мощности (К.П. Гайкович, М.И. Сумин)

Разработан программный комплекс для решения на основе устойчивых к ошибкам исходных данных секвенциальных форм принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина неустойчивых задач выпуклого программирования и оптимального управления. Он состоит из набора функций, реализованных на языке Python и может быть использован на платформах Windows и Linux (Ф.А. Кутерин, М.И. Сумин)

Методы численной оптимизации управляемых начально-краевых задач

Для задач оптимизации распределенных управляемых систем предложен вариант обоснования градиентных методов, основанный на способе вычисления производных функционалов и операторов, использующем вольтеррово функционально-операторное представление управляемых систем. (В.И. Сумин)

Дано обоснование сходимости метода условного градиента и метода параметризации управления для задач оптимизации распределенных управляемых систем эволюционного типа. Для решения задач оптимизации распределенных управляемых систем предложен и обоснован метод кусочно-постоянных аппроксимаций S-двойственной системы. (А.В. Чернов)

Дифференциальные игры

Получены достаточные условия существования -равновесия по Нэшу в дифференциальных играх, связанных с уравнениями в частных производных: в смысле кусочно программных стратегий для эволюционных уравнений (в том числе в антагонистических играх с дискриминацией одного из игроков и без дискриминации и в неантагонистических играх многих лиц с иерархией) и в смысле программных стратегий для неэволюционных уравнений (в том числе в случае многих игроков). (А.В. Чернов)

С 1993 г. руководители научной школы В.И. Сумин и М.И. Сумин постоянно участвуют в качестве научных руководителей, соруководителей и исполнителей в работах, финансируемых по грантам Минвуза, РФФИ и МНФ.

В.И. Сумин и М.И. Сумин — руководители и соруководители НИР по грантам:

грант Международного Научного Фонда (фонд Дж. Сороса) и Российской Академии естественных Наук (РАЕН), 1993–1994 гг. Руководители Сумин В.И., Сумин М.И.
КЦФЕ Минвуза РФ, код проекта 93–1-71–19, «Теория оптимального управления распределенными системами: субоптимальность, минимизирующие последовательности, численные методы», 1993 – 1995 гг., Руководитель Сумин В.И.
РФФИ, код проекта 95–01-00701, «Теория субоптимального управления распределенными системами и функциональные вольтерровы уравнения», 1995 — 1997 гг., Руководитель Сумин В.И.
РФФИ, код проекта 98–01-00793, «Теория субоптимального управления распределенными системами: минимизирующие последовательности, операторные ограничения, граничные управления, численные методы», 1998 — 2000 гг.; Руководитель Сумин М.И.
РФФИ, код проекта 01–01-00979, «Оптимальное управление вольтерровыми функциональными уравнениями: теория и приложения», 2001 — 2003 гг., Руководитель Сумин В.И.
КЦФЕ Минвуза РФ, код проекта Е02–1.0–173, «Субоптимальное управление распределенными системами: операторные ограничения, граничные управления, численные алгоритмы, регуляризация, обратные задачи», 2003 — 2004 гг.; Руководитель Сумин М.И.
РФФИ, код проекта 04–01-00460, «Субоптимальное управление распределенными системами с операторными ограничениями и граничными управлениями: теория и алгоритмы», 2004 – 2006 гг.; Руководитель Сумин М.И.
РФФИ, код проекта 07–01-00495, «Теория и алгоритмы оптимизации управляемых систем: субоптимизация, возмущения, двойственность, регуляризация, обратные задачи, вольтерровы уравнения», 2007 – 2009 гг. Руководители Сумин В.И., Сумин М.И.;
Минобрнауки РФ, АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2011 годы)», проект 2.1.1/3927 «Параметрические задачи оптимизации управляемых систем: теория, алгоритмы, приложения», 2009–2010 гг. Руководитель Сумин М.И.
Минобрнауки РФ, АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2011 годы)», проект 2.1.1/13303, «Параметрические задачи оптимизации управляемых систем: теория, алгоритмы, приложения», 2011 г. Руководитель Сумин М.И.
РФФИ-Нижегородская область, код проекта 09–01-97019 «Оптимизационные и обратные задачи электромагнитной теории: теоретический анализ, алгоритмы и численное моделирование», 2009–2010 г. Руководитель Сумин М.И.
Минобрнауки РФ, госзадание в 2012–2014 гг., заявка 1.1907.2011 «Аналитические и вычислительные методы в оптимизации, алгебре и геометрии», 2012–2013 гг. Руководитель Сумин М.И.
РФФИ, код проекта 12–01-00199 «Теория и алгоритмы параметрической секвенциальной оптимизации управляемых систем», 2012–2014 гг. Руководитель Сумин М.И.
Минобрнауки РФ, проектная часть госзадания в 2014–2016 гг., заявка 1727 «Устойчивая секвенциальная оптимизация управляемых распределенных систем и ее приложение к задачам физической диагностики электромагнитных процессов», 2014–2016 гг. Руководитель Сумин М.И.

В.И. Сумин и М.И. Сумин — исполнители НИР по грантам:

РФФИ, код проекта 08–02-00117, «Подповерхностная ближнепольная электромагнитная диагностика и сканирующая томография», 2008–2010 гг., Руководитель Гайкович К.П., исполнитель Сумин М.И.
ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России (2009–2013), проект НК-13П(9), «Динамические системы, ассоциированые с ними алгебраические и геометрические структуры и проблемы оптимального управления», 2009–2011 гг., Руководитель Яковлев Е.И., исполнители Сумин В.И., Сумин М.И.
РФФИ-НАН Беларуси, код проекта 12–02-90028-Бел_а, «Ближнепольная многочастотная СВЧ голография подповерхностных объектов», 2012–2013 гг., Руководитель Гайкович К.П., исполнитель Сумин М.И.
РФФИ-Нижегородская область, код проекта 13–07-97028-р_поволжье_а, «Обратные задачи рассеяния в диагностике подповерхностных неоднородностей», 2013–2014 гг., Руководитель Гайкович К.П., исполнитель Сумин М.И.
РФФИ, код проекта 13–02-12155-офи_м, «Решение некорректных обратных задач ближнепольной электромагнитной диагностики земной коры», 2013–2015 гг., Руководитель Гайкович К.П., исполнитель Сумин М.И.
РФФИ-Нижегородская область, код проекта 15–47-02294-р_поволжье_а, «Суперкомпьютерная система для дистанционной медицинской СВЧ диагностики», 2015–2017 гг., Руководитель Гайкович К.П., исполнитель Сумин М.И.