Основные направления. Направление 1
- Интегро-дифференциальные уравнения
Сотрудниками кафедры был выполнен цикл исследований по теории интегро-дифференциальных уравнений, возникающих при кинетическом описании различных физических процессов. Этими исследованиями охвачены классы математических задач, возникающих в теории ядерных реакторов, в динамике излучающего газа, в теоретической астрофизике. В частности, были получены оригинальные результаты о разрешимости краевых и начально-краевых задач для линейных и нелинейных систем интегро-дифференциальных уравнений теории переноса нейтронов и теории переноса излучения в неравновесных средах, развиты новые подходы исследования этих задач, использующие методы теории упорядоченных пространств. Эти исследования находят активное продолжение и в настоящее время.
- Математические основы теории электромагнитных процессов в неоднородных средах
В последние десятилетия сотрудниками кафедры проводятся исследования по одному из основных направлений современной математической физики – теории электромагнитных процессов в неоднородных средах. В основе описания электромагнитных процессов лежат постановки краевых задач для полной нестационарной системы уравнений Максвелла и различных ее приближений (стационарное, нерелятивистское магнитное, нерелятивистское электрическое приближения). При этом возникает широкий спектр новых (неклассических) задач математической физики, представляющих практический интерес. В проводимых в этом направлении исследованиях получены результаты о разрешимости широкого класса задач для различных приближений системы уравнений Максвелла. Развитые подходы позволяют проводить исследования для сред с весьма общим характером физических неоднородностей.
- Полулинейные гиперболические уравнения
В рамках данного направления изучаются свойства существования, единственности, регулярности и устойчивости обобщенных решений линейных, полулинейных и квазилинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа с дивергентной правой частью и разными типами начально-краевых условий. Кроме того, существенное внимание в рамках этого направления уделяется изучению свойств существования, единственности и устойчивости обобщенных решений линейных гиперболических дивергентных уравнений с мерами Радона в правой части уравнений. Актуальность таких исследований объясняется, в частности, необходимостью подобного рода результатов для изучения задач оптимального управления гиперболическими системами, а также относительно малой изученностью свойств решений начально-краевых задач для дивергентных гиперболических уравнений.
- Условия сохранения глобальной разрешимости начально-краевых задач
Сотрудниками кафедры изучаются условия сохранения (при изменении параметров, управлений) глобальной разрешимости начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений. Рассматриваются, в частности, уравнения при достаточно общих условиях на коэффициенты и правые части уравнений, когда решение начально-краевой задачи понимается в обобщенном смысле, с распределенными, начальными, граничными управлениями, а также с управляемыми старшими коэффициентами.
Необходимость изучения условий сохранения глобальной разрешимости обусловлена, в частности, потребностями математической теории оптимального управления. В теории оптимального управления при выводе необходимых условий оптимальности, при обосновании численных методов оптимизации, при изучении задач с приближенно известными данными и анализе чувствительности оптимизационных задач, а также в целом ряде других ситуаций часто бывает, что оптимизационная задача такова, что интерес представляю только глобальные решения управляемой системы. Важным становится вопрос о достаточных условиях, при которых те или иные изменения (возмущения, вариации) управления не выводят его из класса управлений, которым отвечают глобальные решения управляемой системы, то есть вопрос об условиях сохранения (при изменении управлений) глобальной разрешимости управляемой системы; интерес, в частности, представляет выяснение условий, при которых для любого допустимого управления начально-краевая задача имеет глобальное решение.
Следует отметить, что условия сохранения глобальной разрешимости управляемых начально-краевых задач изучены еще совершенно недостаточно. Этим объясняется, например, то, что при выводе тех или иных необходимых условий оптимальности зачастую из-за недостатка информации об условиях сохранения глобальной разрешимости считают рассматриваемую начально-краевую задачу сингулярной в смысле Ж.-Л.Лионса и переходят от классического случая «состояние зависит от управления» к случаю, когда «управление» и «состояние» равноправны, хотя теоретические построения в этом случае, как правило, гораздо более трудоемки.
