Основные направления. Направление 2

1. Воль­тер­ро­вы опе­ра­то­ры в функ­ци­о­наль­ных про­стран­ствах

На­зва­ние «воль­тер­ро­вы опе­ра­то­ры» («опе­ра­тор типа Воль­тер­ра») при­сва­и­ва­лось в ли­те­ра­ту­ре раз­лич­ным клас­сам опе­ра­то­ров со сход­ны­ми свой­ства­ми. Пер­вые опре­де­ле­ния воль­тер­ро­во­сти функ­ци­о­наль­ных опе­ра­то­ров (то есть опе­ра­то­ров, дей­ству­ю­щих в функ­ци­о­наль­ных про­стран­ствах) были даны Л.Тонелли (1929) и А.Н.Тихоновым (1938). Оба эти опре­де­ле­ния от­но­си­лись фак­ти­че­ски лишь к опе­ра­то­рам, дей­ству­ю­щим в про­стран­ствах функ­ций од­ной пе­ре­мен­ной. Пер­вые аб­стракт­ные опре­де­ле­ния воль­тер­ро­вых опе­ра­то­ров при­над­ле­жат, ви­ди­мо, И.Ц.Гохбергу и М.Г.Крейну (1969) и П.П.Забрейко (1967). По­ня­тия воль­тер­ро­во­сти обыч­но ис­поль­зу­ют­ся ав­то­ра­ми для изу­че­ния тех или иных «воль­тер­ро­вых» урав­не­ний. Они поз­во­ля­ют вве­сти по­ня­тие «ло­каль­но­го ре­ше­ния», рас­смот­реть во­прос «про­дол­же­ния ре­ше­ний» и мно­гие смеж­ные во­про­сы.

В.И.Сумин ввел (1975, 1989) и по­дроб­но изу­чил но­вое по­ня­тие «функ­ци­о­наль­ный опе­ра­тор, воль­тер­ров на си­сте­ме мно­жеств» (яв­ля­ю­ще­е­ся мно­го­мер­ным обоб­ще­ни­ем из­вест­но­го, вве­ден­но­го А.Н.Тихоновым, по­ня­тия «функ­ци­о­наль­ный опе­ра­тор типа Воль­тер­ра»), пред­ло­жил но­вое воль­тер­ро­во функ­ци­о­наль­но-опе­ра­тор­ное опи­са­ние на­чаль­но-кра­е­вых за­дач, адек­ват­ное мно­гим про­бле­мам оп­ти­ми­за­ции рас­пре­де­лен­ных си­стем. Эти ис­сле­до­ва­ния про­дол­жа­ют­ся на ка­фед­ре в раз­лич­ных на­прав­ле­ни­ях.

Одно из на­прав­ле­ний свя­за­но с по­ня­ти­ем ква­зи­ниль­по­тент­но­сти ли­ней­ных опе­ра­то­ров. При про­вер­ке опе­ра­то­ра на ква­зи­ниль­по­тент­ность пря­мое ис­поль­зо­ва­ние из­вест­ной фор­му­лы И.М.Гельфанда для спек­траль­но­го ра­ди­у­са неред­ко ока­зы­ва­ет­ся весь­ма за­труд­ни­тель­ным. По­это­му пред­став­ля­ют ин­те­рес спе­ци­аль­ные при­зна­ки ква­зи­ниль­по­тент­но­сти опе­ра­то­ров. Эти при­зна­ки так или ина­че свя­за­ны обыч­но с тем или иным по­ня­ти­ем воль­тер­ро­во­сти опе­ра­то­ров. По­ня­тие «воль­тер­ро­во­сти на си­сте­ме мно­жеств» поз­во­ли­ло по­лу­чить удоб­ный «це­по­чеч­ный» при­знак ква­зи­ниль­по­тент­но­сти опе­ра­то­ров, дей­ству­ю­щих в ба­на­хо­вых иде­аль­ных про­стран­ствах функ­ций (В.И.Сумин и А.В.Чернов, 1998). В слу­чае ба­на­хо­вых иде­аль­ных про­странств этот при­знак яв­ля­ет­ся бо­лее об­щим по фор­ме, чем из­вест­ный аб­стракт­ный при­знак П.П.Забрейко (За­брей­ко П.П. // Ли­тов­ский мат. сб. 1967. Т.7. №2). При изу­че­нии раз­лич­ных во­про­сов, свя­зан­ных с воз­мож­но­стью про­дол­же­ния ло­каль­ных ре­ше­ний на­чаль­но-кра­е­вых за­дач, воз­ни­ка­ет необ­хо­ди­мость ис­сле­до­ва­ния се­мейств ква­зи­ниль­по­тент­ных опе­ра­то­ров. Здесь тоже ока­зы­ва­ет­ся по­лез­ным по­ня­тие «воль­тер­ро­во­сти на си­сте­ме мно­жеств».

2. Воль­тер­ро­вы функ­ци­о­наль­но-опе­ра­тор­ные урав­не­ния

Есте­ствен­ным яв­ля­ет­ся стрем­ле­ние вы­де­лять, по воз­мож­но­сти – бо­лее ши­ро­кие, клас­сы рас­пре­де­лен­ных управ­ля­е­мых си­стем (за­дач оп­ти­ми­за­ции) так, что­бы мож­но было те или иные ре­зуль­та­ты (усло­вия оп­ти­маль­но­сти, устой­чи­во­сти, фор­му­лы чис­лен­ных ме­то­дов и др.) по­лу­чить сра­зу для все­го клас­са в еди­ном ком­пакт­ном и удоб­ном виде. Уни­фи­ка­ция при­зва­на, с од­ной сто­ро­ны, об­лег­чить те или иные по­стро­е­ния, а с дру­гой – вы­явить но­вые свя­зи и за­ко­но­мер­но­сти. Про­бле­ма уни­фи­ка­ции для рас­пре­де­лен­ных си­стем осо­бен­но ост­ра вви­ду слож­но­сти и боль­шо­го раз­но­об­ра­зия воз­ни­ка­ю­щих здесь при­клад­ных за­дач и тео­ре­ти­че­ских во­про­сов оп­ти­ми­за­ции. Для при­ло­же­ний важ­но, что­бы фор­ма пред­став­ле­ния ре­зуль­та­тов была не толь­ко ком­пакт­ной, но и удоб­ной при ис­поль­зо­ва­нии в кон­крет­ных оп­ти­ми­за­ци­он­ных за­да­чах. Это озна­ча­ет, что про­вер­ка усло­вий при­ме­ни­мо­сти и пе­ре­пи­сы­ва­ние того или ино­го аб­стракт­но­го ре­зуль­та­та не долж­ны в каж­дой кон­крет­ной си­ту­а­ции пре­вра­щать­ся в слиш­ком слож­ную са­мо­сто­я­тель­ную за­да­чу. Неко­то­рый ком­про­мисс меж­ду стрем­ле­ни­ем к общ­но­сти по­стро­е­ний, с од­ной сто­ро­ны, и же­ла­ни­ем по­лу­чить ре­зуль­та­ты в удоб­ной для при­ло­же­ний фор­ме – с дру­гой, до­сти­га­ет­ся, по-ви­ди­мо­му, при пе­ре­хо­де к опи­са­нию управ­ля­е­мых си­стем (на­чаль­но-кра­е­вых за­дач) на язы­ке воль­тер­ро­вых функ­ци­о­наль­но-опе­ра­тор­ных урав­не­ний, упо­мя­ну­тых в преды­ду­щем пунк­те.

Со­труд­ни­ки ка­фед­ры на про­тя­же­нии дли­тель­но­го вре­ме­ни до­ста­точ­но ак­тив­но изу­ча­ют воз­мож­но­сти ука­зан­но­го воль­тер­ро­ва опи­са­ния управ­ля­е­мых на­чаль­но-кра­е­вых за­дач для нели­ней­ных урав­не­ний с част­ны­ми про­из­вод­ны­ми раз­ных ти­пов (ги­пер­бо­ли­че­ских, па­ра­бо­ли­че­ских, ин­те­гро-диф­фе­рен­ци­аль­ных, с раз­но­го рода за­паз­ды­ва­ни­я­ми и др.), свой­ства со­от­вет­ству­ю­щих воль­тер­ро­вых функ­ци­о­наль­но-опе­ра­тор­ных урав­не­ний (во­про­сы су­ще­ство­ва­ния и един­ствен­но­сти ре­ше­ний, усло­вия со­хра­не­ния (при из­ме­не­нии па­ра­мет­ров) гло­баль­ной раз­ре­ши­мо­сти урав­не­ний, во­про­сы по­лу­че­ния раз­но­го рода оце­нок ре­ше­ний и др.). Ре­зуль­та­ты ори­ен­ти­ро­ва­ны, преж­де все­го, на при­ме­не­ния к кон­крет­ным управ­ля­е­мым на­чаль­но-кра­е­вым за­да­чам и кон­крет­ным оп­ти­ми­за­ци­он­ным за­да­чам.

3. При­ме­не­ния функ­ци­о­наль­но-опе­ра­тор­ных урав­не­ний в тео­рии оп­ти­ми­за­ции рас­пре­де­лен­ных си­стем

Упо­мя­ну­тое в преды­ду­щем пунк­те воль­тер­ро­во функ­ци­о­наль­но-опе­ра­тор­ное опи­са­ние рас­пре­де­лен­ных управ­ля­е­мых си­стем ак­тив­но и успеш­но ис­поль­зу­ет­ся при изу­че­нии са­мых раз­ных во­про­сов ма­те­ма­ти­че­ской тео­рии оп­ти­маль­но­го управ­ле­ния: для вы­яв­ле­ния усло­вий со­хра­не­ния гло­баль­ной раз­ре­ши­мо­сти на­чаль­но-кра­е­вых за­дач (при воз­му­ще­нии раз­но­го рода управ­ле­ний – рас­пре­де­лен­ных, гра­нич­ных, на­чаль­ных, вхо­дя­щих в глав­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты урав­не­ний и др.); для по­лу­че­ния необ­хо­ди­мых усло­вий оп­ти­маль­но­сти в оп­ти­ми­за­ци­он­ных за­да­чах с раз­но­го рода огра­ни­че­ни­я­ми и, в част­но­сти, для по­лу­че­ния син­гу­ляр­ных си­стем оп­ти­маль­но­сти в смыс­ле Ж.-Л.Лионса; для ис­сле­до­ва­ния осо­бых управ­ле­ний прин­ци­па мак­си­му­ма и осо­бых управ­ле­ний дру­гих необ­хо­ди­мых усло­вий оп­ти­маль­но­сти; для обос­но­ва­ния чис­лен­ных ме­то­дов (гра­ди­ент­ных, па­ра­мет­ри­за­ции и др.) ре­ше­ния рас­пре­де­лен­ных за­дач оп­ти­маль­но­го управ­ле­ния; при рас­ши­ре­нии оп­ти­ми­за­ци­он­ных за­дач; в тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных игр с рас­пре­де­лен­ны­ми па­ра­мет­ра­ми и в дру­гих во­про­сах.