Основные направления. Направление 3
- Теория параметрической секвенциальной оптимизации управляемых уравнений в частных производных с операторными ограничениями
Работу в этом направлении можно охарактеризовать с общей точки зрения как работу по распространению теории классических условий оптимальности и, в частности, принципа максимума Понтрягина, на достаточно обширный класс зависящих от параметров в ограничениях задач секвенциальной оптимизации для уравнений в частных производных с обобщенными решениями. Словосочетание секвенциальная оптимизация означает, что в качестве основного понятия оптимизационной теории вместо классического понятия оптимального элемента используется (вообще говоря, более общее) понятие минимизирующей последовательности допустимых элементов, то есть, другими словами, вместо классического языка оптимальных элементов используется секвенциальный язык минимизирующих последовательностей. Актуальность подобного рода исследований объясняется тем, что известные к настоящему времени многочисленные работы, посвященные оптимизации распределенных систем с операторными ограничениями, посвящены, по сути дела, лишь получению необходимых условий оптимальности — принципа максимума Понтрягина. По этой причине большое внимание в проводимых сотрудниками кафедры исследованиях уделяется развитию оптимизационной техники, позволяющей рассматривать значительно более широкий спектр вопросов, связанных с необходимыми и достаточными условиями субоптимальности (в частности, классической оптимальности), регулярности, нормальности и анормальности задач, дифференциальными свойствами функций значений задач (как функций параметров), устойчивостью оптимальных значений (чувствительность). В частности, исследуются параметрические задачи оптимального управления для уравнений в частных производных, обобщенные решения которых не обладают традиционными (в подобных случаях) свойствами регулярности. К таким задачам относятся, прежде всего, задачи для управляемых гиперболических уравнений дивергентного вида, но также и задачи для уравнений параболического и эллиптического типа при общих условиях суммируемости их коэффициентов.
- Теория регуляризации классических условий оптимальности в задачах оптимизации и оптимального управления с операторными ограничениями в гильбертовых, а также в более общих рефлексивных банаховых пространствах
Это направление исследований предполагает, прежде всего, получение на основе идеологии двойственной регуляризации новых результатов в оптимизационных задачах для уравнений с частными производными, связанных с регуляризацией принципа Лагранжа в недифференциальной форме и принципа максимума Понтрягина. Необходимость в регуляризации принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина обусловлена их неустойчивостью по отношению к возмущениям исходных данных оптимизационных задач, являющейся прямым следствием аналогичной неустойчивости самих этих задач. Регуляризация указанных классических условий оптимальности открывает широкие возможности их непосредственного применения для решения различных практических оптимизационных задач и, прежде всего, задач оптимального управления, возникающих в естественнонаучных приложениях. В первую очередь, в указанном направлении изучаются задачи оптимального управления для уравнений с частными производными в дивергентной форме параболического, эллиптического и гиперболического типов. Одновременно, разнообразие различных свойств решений уравнений в частных производных приводит здесь к естественной потребности распространения теории двойственной регуляризации с ограничениями в гильбертовых пространствах на задачи с ограничениями в (более общих) рефлексивных банаховых пространствах. Кроме того, в рамках этого направления продолжаются исследования метода параметрической двойственной регуляризации в нелинейных задачах оптимального управления. Основные усилия при этом направлены на получение в нелинейном случае аналогов указанных выше регуляризованных принципов Лагранжа и Понтрягина, при обосновании которых существенную роль играют результаты современного нелинейного (негладкого) анализа.
- Теория условий оптимальности для распределенных задач оптимизации
Использование упомянутого выше вольтеррова представления (см. предыдущий раздел) распределенных управляемых систем позволило единообразно рассмотреть широкий класс способов варьирования и получения соответствующих им необходимых условий первого порядка и более высоких порядков (в случае так называемых особых управлений, на которых условия первого порядка вырождается). Был предложен способ изучения особых управлений поточечного принципа максимума и других необходимых условий оптимальности для распределенных управляемых систем, использующий теорию тензорных произведений лебеговых пространств при вычислении старших вариаций функционалов.
Теоремы о достаточных условиях сохранения глобальной разрешимости (см. п.4 первого раздела) позволили решить некоторые вопросы, связанные с проблемой сингулярности управляемых начально-краевых задач в смысле Ж.-Л.Лионса (Лионс~Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987.), которым предложено управляемую начально-краевую задачу называть сингулярной, в частности, тогда, когда некоторым требуемым для получения условий оптимальности вариациям управления либо не отвечает, либо неизвестно, отвечает ли, единственное глобальное решение данной задачи. В этом случае для вывода условий оптимальности Ж.-Л.Лионсом предложено переходить к рассмотрению эквивалентной оптимизационной задачи на классе пар «управление, состояние» и ограничение в виде управляемого уравнения «снимать» методом адаптированного штрафа. Вывод условий оптимальности при этом может быть существенно более сложным, чем аналогичный вывод по классической схеме варьирования управлений. Сотрудниками кафедры показано, что ряд конкретных управляемых начально-краевых задач, рассматриваемых в указанной монографии Ж._Л.Лионса как сингулярные, можно к таковым не относить и при выводе соответствующих «сингулярных систем оптимальности» придерживаться классической схемы. При этом «сингулярность» бывает удобно «преодолевать» с помощью перехода к вольтеррову описанию управляемой системы и использования соответствующих теорем о сохранении глобальной разрешимости или теорем о неявных функциях. Таким способом удалось решить ряд поставленных Ж.-Л.Лионсом задач получения сингулярных систем оптимальности.
Сотрудники кафедры продолжают исследования, связанные с условиями оптимальности и, в частности, с особыми управлениями.
- Теория и приложения численных методов оптимизации распределенных систем
Теоремы об условиях сохранения глобальной разрешимости (см. п.4 первого раздела) в свое время позволили для широкого класса оптимизационных задач с ограниченным множеством допустимых значений управления, связанных с начально-краевыми задачами, допускающими упомянутое выше вольтеррово описание, дать обоснование применению градиентных методов при произвольных порядках роста каратеодориевских правых частей управляемых уравнений по «фазовым» и управляющим переменным (часто применяемое при решении оптимизационных задач дифференцирование функционалов по управлению в смысле пространства суммируемых с квадратом функций, как известно, требует, вообще говоря, линейных порядков роста).
В настоящее время на кафедре продолжается активная работа, связанная с численными методами решения задач оптимизации распределенных систем. Достаточно детально разрабатываются вопросы обоснования численных методов типа метода условного градиента, методов параметризации управления и др. Рассматриваются как управляемые системы эволюционного типа (начально-краевые задачи), допускающие вольтеррово функционально-операторное описание, так и неэволюционные управляемые системы (например, краевые задачи для управляемых эллиптических уравнений). Изучаются прикладные аспекты, проводятся соответствующие численные эксперименты.
- Дифференциальные игры
В стандартных постановках задач теории дифференциальных игр предполагается, что игроки (два или несколько) с определенными целями, каждый с помощью своего управления, воздействуют на некоторую систему обыкновенных дифференциальных уравнений. В последние годы на кафедре активно изучается новый класс дифференциальных игр – распределенные дифференциальные игры, в которых игроки управляют некоторой распределенной системой, допускающей вольтеррово функционально-операторное описание (функционально-операторные игры).
