Основные направления. Направление 4
- Развитие теоретических основ двойственной регуляризации
Упор здесь делается на алгоритмы непосредственного решения, на основе теории двойственности, задач математического программирования в бесконечномерных пространствах, задач оптимального управления для уравнений с частными производными и сводящихся к ним обратных задач физической диагностики. Здесь изучаются как выпуклые, так и нелинейные задачи. В частности, исследуются задачи оптимального управления для линейных дивергентных параболических и гиперболических уравнений с распределенными, начальными, граничными управлениями (возмущающими воздействиями) с различного рода целевыми функционалами, функциональными и операторными ограничениями. К задачам такого рода сводятся, например, самые разнообразные возникающие, прежде всего, в естественнонаучных приложениях обратные задачи, т.е. задачи естественнонаучного содержания, в которых необходимо определить свойства, характеристики тех или иных объектов, процессов по результатам их косвенных проявлений (наблюдений), доступных измерениям с помощью тех или иных физических приборов.
- Обратные задачи физической диагностики
Возникающие в самых разнообразных естественнонаучных и технических приложениях обратные задачи называют часто задачами физической диагностики или задачами дистанционного зондирования окружающей среды. Такая сложившаяся в последние десятилетия терминология объясняется тем, что во всех этих задачах нужно определить (диагносцировать) представляющие интерес для исследователей характеристики того или иного процесса, явления по их косвенным проявлениям, доступным исследователям в результате работы их измерительных приборов, т.е. получить, другими словами, новые знания об окружающей среде, окружающем нас микро и макро мире. При этом чрезвычайно важным является то обстоятельство, что сами эти процессы, явления происходят, в большом числе случаев, на значительных расстояниях (до сотен, тысяч световых лет в астрофизике) от фиксирующих их косвенные проявления приборов, что полностью и объясняет словосочетание «дистанционное зондирование». Исследования в области обратных задач физической диагностики неразрывно связаны с исследованиями в области теории уравнений (см. Направление 1) и теории оптимального управления (см. Направление 3). Это объясняется тем, что: 1) упомянутые выше процессы, явления, происходящие в окружающем нас мире, описываются, как правило, теми или иными дифференциальными уравнениями и, прежде всего, дифференциальными уравнениями с частными производными; 2) в свою очередь, методы теория оптимизации, оптимального управления порождают эффективные алгоритмы для решения обратных задач. Таким образом, исследования в области обратных задач физической диагностики, создание новых методов для их решения естественно трактовать как создание новых информационных технологий, опирающихся на классические разделы фундаментальной математики. В последние годы сотрудниками кафедры математической физики и оптимального управления разрабатываются новые устойчивые к ошибкам исходных данных двойственные алгоритмы для решения конкретных обратных задач физической диагностики, связанных, в частности, с процессами теплопроводности, созданием электромагнитных полей заданной конфигурации, многочастотной электромагнитной диагностикой неоднородностей проводимости земной коры в КНЧ-УНЧ диапазоне (томографии объемных неоднородностей, компьютерной голографии внутренне однородных включений, восстановления профиля одномерно стратифицированной среды), дистанционной обработкой данных СВЧ медицинской диагностики, исследованием обратных задач атмосферного электричества. Эти междисциплинарные исследования проводятся, в частности, в кооперации с сотрудниками Института прикладной физики РАН (чл.-корр. РАН, проф. Е.А. Мареев, директор НОЦ, проф. А.И. Смирнов), Института физики микроструктур РАН (проф. К.П. Гайкович).
В качестве одного из важнейших примеров совместной с сотрудниками ИПФ РАН и ИФМ РАН междисциплинарной деятельности, в рамках выполняемых в кооперации с ними НИР, посвященных медико-биологическим проблемам физической диагностики, упомянем исследования, связанные с созданием и изучением так называемого метода ближнепольной СВЧ-диагностики для целей решения проблемы обнаружения рака молочной железы на ранней стадии. Этот метод обладает определенными преимуществами по сравнению с хорошо известными существующими методами обнаружения рака молочной железы (метод пальпации, рентгеновская маммография, сонография или УЗИ, МРТ (магнитно-резонансная томография)), которые, по существу, являются не диагностикой, а способами обнаружения, так как их результаты должны уточняться чрескожной биопсией и проверяться гистологическим анализом. В отличие от них, ближнепольная СВЧ-диагностика не связана (как в случае маммографии) с использованием жесткого излучения, нацелена на получение 3D-распределения комплексной диэлектрической проницаемости неоднородностей, которая позволяет идентифицировать вещество неоднородности (новообразования).
