Основные направления. Направление 6

1.Теория непрерывных недифференцируемых функций

В последние годы большое внимание привлекает теория непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций. Благодаря существенным трудностям, связанным с изучением подобных функций, эта теория на протяжении многих десятилетий развивалась относительно медленными темпами. Не случайно основные результаты, полученные в математическом анализе Ньютоном, Лейбницем и другими классиками относятся к гладким функциям. Из обычного курса математического анализа хорошо известен классический пример функции Вейерштрасса, которая на действительной оси всюду непрерывна и нигде не дифференцируема. В последнее время внимание многих исследователей привлекает другой пример подобной непрерывной нигде не дифференцируемой функции, предложенный в 1903 г. японским математиком Т. Такаги. Необходимость изучать именно непрерывные, но не дифференцируемые функции можно пояснить следующим известным фактом. В некотором смысле, непрерывных недифференцируемых функций «несравненно больше», чем дифференцируемых, а именно, почти все, по мере Винера, непрерывные функции на отрезке являются недифференцируемыми. Однако, и при отсутствии такого важного свойства, как дифференцируемость, имеется ряд характеристик непрерывных функций, которые можно и нужно изучать. К ним относятся: свойство Гёльдера, дробная дифференцируемость, вогнутость, глобальные и локальные экстремумы, фрактальная размерность графика таких функций.

Теория рациональных приближений непрерывных функций

В теории рациональных приближений функций изучаются такие вопросы, как существование рациональной дроби наилучшего приближения данной непрерывной функции, единственность этой дроби, свойства рациональных дробей наилучшего приближения, алгоритмы поиска наилучшего рационального приближения и свойства этих алгоритмов. Теория рациональных приближений возникла во второй половине 19-го века в связи с работами П.Л. Чебышева. Особенно быстро она развивается в последние годы благодаря растущим практическим потребностями и совершенствованию вычислительной техники. Усложняются и задачи, стоящие перед теорией рациональных приближений. Например, физики нуждаются в результатах по рациональным приближениям в среднеквадратичной норме, чтобы сглаживать результаты измерений. Кроме того, возникает необходимость приближать непрерывные функции не только на отрезке, но и на фрактальных множествах. Одним из наиболее известных алгоритмов поиска наилучших рациональных приближений является так называемый алгоритм Ремеза. На одном из его шагов требуется найти рациональную дробь, удовлетворяющую условию альтернанса. Для этого может применяться алгоритм Вернера, который также является одним из объектов исследований, проводимых на кафедре.

Равномерное приближение функций комплексной переменной

Исследования в данном направлении находятся в русле классической теории приближений функции многочленами, начало которой для функций комплексной переменной было положено С.Н. Мергеляном, предложившим метод приближения аналитических функций многочленами на замкнутых множествах. Впоследствии этот результат был распространен на случай приближения частичными суммами степенных и функциональных рядов, а также разного рода приближений обобщениями частичных сумм этих рядов. Актуальность последних исследований объясняется тем, что не для всех классических результатов данного направления могут быть получены указанные обобщения. В связи с этим несомненный интерес представляет исследование законов пропусков частичных сумм рядов, новые подходы и методы, которые позволяют получать указанные обобщения при определённых естественных условиях.

Задача Валле Пуссена для уравнения свертки в пространстве целых функций

Исследования в области комплексного анализа посвящены изучению разрешимости обобщенной задачи Валле Пуссена для уравнения свертки в пространстве целых функций. Задача Валле Пуссена первоначально ставилась для линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с непрерывными коэффициентами на отрезке. В ней задание классических начальных условий Коши было заменено заданием значений решения в n точках. В 1929 г. Валле Пуссен нашел условия, обеспечивающие в этой ситуации существование и единственность решения многоточечной задачи для дифференциального уравнения. Подобные многоточечные условия часто возникают в прикладных задачах. Поскольку оператор свертки является обобщением различных операторов, в том числе и линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами, то важно знать, при каких условиях разрешима задача Валле Пуссена в ядре оператора свертки. Оказалось, что разрешимость многоточечной задачи Валле Пуссена для однородного сверточного уравнения эквивалентна существованию так называемого представления Фишера, т.е. существованию представления пространства целых функций в виде суммы ядра оператора свертки и главного идеала, порожденного целой функцией. Центральное внимание в рамках указанного научного направления уделяется изучению условий существования представления Фишера. При этом рассматривается общая ситуация, когда множество узлов, в которых задается значение целой функции, представляет собою достаточно произвольное множество точек в комплексной плоскости, являющееся множеством нулей некоторой целой функции. Связанная с представлением Фишера тематика на протяжении длительного времени привлекала и привлекает внимание как отечественных, так и зарубежных математиков (В. Баргман (ученик А. Эйнштейна), А. Мерил, Д. Ньюмен, Д. Струппа, Л. Хермандер, Г. Шапиро, Л. Эренпрайс, А. Ягер, В.В. Напалков, С.Г. Мерзляков, С.В. Попенов).

Динамические системы на многообразиях

В теории динамических систем на многообpазиях по-прежнему актуальной остается проблема отыскания топологических инваpиантов, опpеделяющих глобальное поведение тpаектоpий диффеоморфизмов на гладких замкнутых оpиентиpуемых многообразиях и пpименения этих инваpиантов к решению проблемы топологической классификации. В настоящее время усилия в указанном направлении направлены, в частности, на получение систем инвариантов для негрубых диффеоморфизмов, имеющих касания инвариантных многообразий различных седловых точек. Тематика данного направления восходит к классическим работам А.А. Андронова, Л.С. Понтрягина, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера. К настоящему времени наиболее исчерпывающим образом задача топологической классификации решена для структурно устойчивых (грубых) потоков на многообразиях размерности два и три, а также для двумерных и трехмерных структурно устойчивых диффеоморфизмов с конечным неблуждающим множеством (диффеоморфизмов Морса-Смейла). Системы, принадлежащие границе множества систем Морса-Смейла, можно разбить на две части: 1) системы с конечным множеством неблуждающих траекторий, содержащие либо негиперболические неподвижные точки или циклы, либо траектории нетрансверсального пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий неподвижных точек или (и) циклов, либо и те, и другие одновременно; 2) системы с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. Хорошо известно, что касание инвариантных многообразий седловых точек каскада хотя бы вдоль одной орбиты приводит к негрубости системы и, более того, к существованию континуума топологически несопряженных диффеоморфизмов в любой ее -окрестности (модуля топологической сопряженности). Если в некоторой окрестности диффеоморфизма множество классов эквивалентности возможно описать с помощью конечного числа параметров, то говорят, что диффеоморфизм имеет конечное число модулей топологической сопряженности. Существует ряд работ, посвященных изучению структуры окрестности такого диффеоморфизма. Однако интересна задача классификации «далеких» систем с конечным числом модулей, то есть систем, заданных на разных многообразиях.