Основные результаты
Основные научные результаты сотрудников кафедры МФОУ за последние годы
Направление 1. Уравнения в частных производных, математическая физика.
Для нелинейных систем интегро-дифференциальных уравнений переноса излучения и статистического равновесия установлена корректность краевых и начально-краевых задач в неограниченных областях, обоснован итерационных алгоритм, реализующий метод расщепления по физическим процессам. (А.В. Калинин)
Получены обобщения Lp-оценок скалярных произведений векторных полей, необходимых при исследовании вопросов корректности задач электромагнитных сред. Доказаны теоремы о разрешимости квазистационарных задач для системы уравнений Максвелла и обоснован метод слабой проводимости для решения задач в неоднородных средах с непроводящими включениями в низкочастотной области. Исследована корректность нового класса задач для системы уравнений Максвелла в нерелятивистском электрическом приближении. (А.В. Калинин, А.А. Тюхтина)
Разработана теория существования слабых решений начально-краевых задач для полулинейных гиперболических уравнений в дивергентной форме для разных типов начально-краевых условий. (В.С. Гаврилов)
Разработана теория существования, единственности и устойчивости решений линейных гиперболических дивергентных уравнений с мерой Радона в правой части уравнения. (В.С. Гаврилов)
Получены достаточные условия сохранения глобальной разрешимости в классах функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу общего вида с полной каратеодориевской частью уравнения при различных условиях на правую часть. (И.В. Лисаченко, В.И. Сумин)
Направление 2. Функционально-операторные уравнения и их применения.
Введено и изучено новое понятие «равностепенная квазинильпотентность семейства операторов», оказавшееся необходимым при изучении проблемы сохранения (при возмущении управляющих воздействий, которые могут осуществляться через посредство функциональных параметров и операторов) глобальной разрешимости вольтерровых функционально-операторных уравнений и управляемых начально-краевых задач для уравнений в частных производных. (В.И. Сумин)
Получены общие условия сохранения глобальной разрешимости вольтерровых функционально-операторных уравнений (В.И. Сумин) и вольтерровых операторных уравнений (В.И. Сумин, А.В. Чернов), позволившие найти ряд новых конкретных достаточных условий сохранения глобальной разрешимости управляемых начально-краевых задач при возмущении правых частей и старших коэффициентов уравнений, начальных и краевых условий (В.И. Сумин, А.В. Чернов, И.В. Лисаченко). Теоремы об условиях сохранения глобальной разрешимости нашли применения в теории условий оптимальности (В.И. Сумин, И.В. Лисаченко), при обосновании численных методов оптимизации (А.В. Чернов) и др.
Получены условия выпуклости множеств глобальной разрешимости и множеств достижимости распределенных управляемых систем, условия управляемости и условия тотальной (то есть для всех допустимых управлений) глобальной разрешимости таких систем; эти результаты нашли разнообразные применения, в частности, при обосновании численных методов оптимизации. (А.В. Чернов)
Введено новое понятие «вольтеррова функционально-операторная игра», позволившее с единых позиций взглянуть на дифференциальные игры, связанные с распределенными управляемыми системами, и получить ряд новых результатов теории таких игр. (А.В. Чернов)
Направление 3. Математическая теория оптимального управления и ее приложения, дифференциальные игры.
Изучены задачи оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями типа неравенства, динамика которых описывается линейными и полулинейнными гиперболическими уравнениями дивергентного вида с различными типами начально-краевых условий. Для указанных задач получены необходимые, достаточные условия для минимизирующих последовательностей, условия регулярности и нормальности оптимизационных задач, связанные с дифференциальными свойствами их функций значений. (В.С. Гаврилов, М.И. Сумин)
Введены понятия устойчивых секвенциальных или, другими словами, регуляризованных принципа Лагранжа, теоремы Куна-Таккера, принципа максимума Понтрягина в задачах математического программирования и оптимального управления. Формулируются регуляризованные «условия оптимальности» как теоремы существования минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги. Структурно они устроены так же, как их одноименные классические аналоги, которые можно трактовать как «предельные» варианты регуляризованных условий. Отличительной особенностью регуляризованных «условий оптимальности» по сравнению с классическими аналогами является устойчивость к ошибкам исходных данных оптимизационных задач и возможность применения их как инструментов для непосредственного практического решения неустойчивых оптимизационных и сводящихся к ним задач. (М.И. Сумин)
Получены необходимые условия оптимальности в виде поточечного принципа максимума для общей терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу общего вида (с полной каратеодориевской частью уравнения), рассматриваемой в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной. (И.В.Лисаченко, В.И. Сумин)
Получены условия сильного вырождения особых управлений принципа максимума в терминальной задаче оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу общего вида (с полной каратеодориевской частью уравнения), рассматриваемой в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной, и конструктивные необходимые условия оптимальности сильно вырожденных особых управлений. . (И.В. Лисаченко, В.И. Сумин)
Дано обоснование сходимости метода условного градиента и метода параметризации управления для задач оптимизации распределенных управляемых систем эволюционного типа. Для решения задач оптимизации распределенных управляемых систем предложен и обоснован метод кусочно-постоянных аппроксимаций S-двойственной системы. (А.В. Чернов)
Получены достаточные условия существования -равновесия по Нэшу в дифференциальных играх, связанных с уравнениями в частных производных: в смысле кусочно программных стратегий для эволюционных уравнений (в том числе в антагонистических играх с дискриминацией одного из игроков и без дискриминации и в неантагонистических играх многих лиц с иерархией) и в смысле программных стратегий для неэволюционных уравнений (в том числе в случае многих игроков). (А.В. Чернов)
Направление 4. Методы регуляризации в оптимизации, оптимальном управлении и математической физике, некорректные и обратные задачи естествознания, обратные задачи физической диагностики.
На основе «нелинейной» двойственной регуляризации доказана устойчивая секвенциальная теорема Куна-Таккера в задаче нелинейного (невыпуклого) программирования, допустимое множество которой, а также образы задающих ограничения операторов лежат в гильбертовых пространствах, показана ее применимость в задачах оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами. (М.И. Сумин)
Разработана теория двойственной регуляризации в задачах выпуклого программирования, допустимые множества которых, а также образы задающих ограничения операторов лежат в равномерно выпуклых банаховых пространствах, показана целесообразность и эффективность этой теории для исследования и решения задач оптимального управления распределенными системами. (М.И. Сумин, А.А. Горшков)
Для задачи выпуклого программирования в гильбертовом пространстве доказан устойчивый к ошибкам исходных данных принцип Лагранжа в итерационной недифференциальной форме с правилом останова итерационного процесса. Он обслуживает как нормальный, регулярный и анормальный случаи задачи, так и тот случай, когда классический принцип Лагранжа для нее вовсе не верен. Показана его применимость при непосредственном решении неустойчивых оптимизационных задач. (М.И. Сумин)
Разработан метод двойственной регуляризации для решения ряда обратных задач атмосферного электричества. (А.А. Жидков, А.В. Калинин, М.И. Сумин)
Получены различные версии устойчивых секвенциальных принципов Лагранжа в обратной задаче финального наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении. (А.В. Калинин, М.И. Сумин, А.А. Тюхтина)
Разработаны новые устойчивые к ошибкам исходных данных основанные на двойственной регуляризации алгоритмы для решения конкретных обратных задач физической диагностики, связанных, в частности, с ультранизкочастотным зондированием электропроводимости земной коры, с подповерхностной ближнепольной электромагнитной диагностикой и сканирующей томографией, с восстановлением глубинных профилей комплексной диэлектрической проницаемости грунта по данным многочастотных СВЧ измерений, с восстановлением профиля диффузионных неоднородностей в периодических многослойных наноструктурах рентгеновской оптики по данным многочастотных измерений коэффициента отражения по мощности, с дистанционной обработкой данных СВЧ медицинской диагностики. (К.П. Гайкович, М.И. Сумин)
Разработаны программные комплексы для решения на основе устойчивых к ошибкам исходных данных секвенциальных форм принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина неустойчивых задач выпуклого программирования и оптимального управления. Они состоят из набора функций, реализованных на языке Python и могут быть использованы на платформах Windows и Linux (Ф.А. Кутерин, М.И. Сумин).
Направление 5. Математическое и численное моделирование электрических атмосферных явлений.
Построены новые математические и численные модели глобальной электрической цепи (ГЭЦ) в атмосфере Земли, учитывающие взаимодействие атмосферы и ионосферы. Обоснована корректность краевых и начально-краевых задач для этих моделей. Обоснована сходимость проекционных методов (в рамках метода конечных элементов) и реализована 3D–модель расчета ГЭЦ при различных физических предположениях. (А.В. Калинин, Е.А. Мареев, Н.Н. Слюняев)
Исследованы задачи пограничного слоя в приземных слоях атмосферы для электрического поля при различных физических предположениях и реализован численный алгоритм расчета электродного эффекта у поверхности Земли. (А.В. Калинин, Н.В. Леонтьев)
Предложены, развиты и обоснованы методы решения обратных задач в теории квазистационарных электромагнитных процессов (А.А. Жидков, А.В. Калинин, М.И. Сумин, А.А. Тюхтина).
Направление 6. Теория функций, функциональный анализ и их приложения, теория динамических систем.
Изучены аналоги функции Такаги, которая на действительной оси всюду непрерывна и нигде не дифференцируема. Они определены, так же как и функция Такаги, на всей действительной оси и задаются в виде степенного, по отношению к некоторому числовому параметру, ряда. При различных значениях этого параметра исследованы область определения, непрерывность, свойство Гёльдера, дифференцируемость, вогнутость и глобальные экстремумы таких функций. (О.Е. Галкин, С.Ю. Галкина)
Изучен алгоритм Вернера, предназначенный для поиска наилучшего рационального приближения функций на конечном множестве. Исследованы собственные значения, вычисляемые в алгоритме Вернера, по которым строятся рациональные дроби, являющиеся кандидатами на наилучшее приближение. Доказано, что если степень числителя приближающей рациональной дроби равна нулю, и приближаемая функция положительна во всех заданных узлах, то эти собственные значения находятся в середине упорядоченной по возрастанию последовательности всех собственных значений. (О.Е. Галкин, С.Ю. Галкина)
Получены приближения аналитических функций частичными суммами ряда по многочленам Фабера с плотностью единица, а также обобщениями частичных сумм степенного ряда и ряда по подсистеме многочленов Эрмита. (Л.К. Додунова)
Доказано существование представления Фишера в случае, когда нулевое множество характеристической функции оператора свертки является секвенциально достаточным в ядре так называемого оператора Муггли, т.е. оператора свертки для пространства целых функций экспоненциального роста. (А.А. Нуятов)
Доказана разрешимость задачи Валле Пуссена для вещественных узлов в случае, когда нулевые последовательности характеристической функции оператора свертки и функции из идеала лежат в угле раствора меньше 180 градусов, для которого действительная ось является биссектрисой, а также удовлетворяют некоторым условия роста. Получены также аналогичные результаты в случае кратных комплексных узлов. (А.А. Нуятов)
Получена полная топологическая классификация двумерных диффеоморфизмов с конечным числом модулей топологической сопряженности. Получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности некоторого содержательного класса негрубых диффеоморфизмов, заданных на гладких трехмерных замкнутых ориентируемых многообразиях. (Т.М. Митрякова)
