Асимптотические методы вычислений

Кафедра информатики и автоматизации научных исследований

Специальность: Прикладная информатика

Преподаватель: Чугунов Ю.В.

Целью курса является ознакомление студентов с фундаментальными понятиями, основными определениями и методами вычислительной математики (асимптотические методы аналитических вычислений), овладение математическим аппаратом, являющимся базовым для дальнейшего обучения.

Данный курс включает в себя основные понятия теории и практики асимптотических разложений, оценок и приближений, применяемых для анализа и получения приближенных аналитических решений для различного рода уравнений, включая дифференциальные уравнения в частных производных.

К дисциплинам, для которых освоение данной дисциплины необходимо как предшествующее, относятся дисциплины базовой части математического и естественнонаучного цикла «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», вариативной части «Теория функций комплексного переменного», «Теория вычислимости»

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать основные понятия теории асимптотических оценок и асимптотических рядов.

Уметь вычислять асимптотические значения интегралов, для которых применимы метод Лапласа, метод стационарной фазы и метод перевала.

Иметь представление (навыки) об асимптотических методах решения дифференциальных уравнений, в том числе дифференциальных уравнениях в частных производных.

Содержание

1. Асимптотические pазложения. Асимптотические оценки и кpитеpии. Асимптотические ряды. Основные понятия и свойства. Степенные асимптотические ряды.

2. Использование асимптотических рядов для вычисления интегралов. Метод Лапласа, метод стационарной фазы и метод перевала. Асимптотические pазложения и специальные функции. Функции Бесселя, основные свойства, понятия и определения.

3. Асимптотические методы решений обыкновенных диффеpенциальных уpавнений. Обобщенный степенной ряд и решения обыкновенных линейных диффеpенциальных уpавнений 2 порядка в окрестности особых точек. Теорема Фукса, классификация особых точек и связь решений со специальными функциями.

4. Интегральное преобразование Фурье. Интегральное преобразование Фурье, основные определения и свойства. Обобщенная функция. Определение, основные свойства, связь с другими функциями. Функции, «близкие» к синусоидальным функциям и интегральное преобразование Фурье. Квадратичные величины.

5. Спектральный анализ и асимптотические методы решений дифференциальных и интегpо-диффеpенциальных уравнений в частных производных. Дисперсионное уравнение и его основные свойства. Понятие дисперсии Понятие пространственно временного волнового пучка. Разложение дисперсионного уравнения вблизи основной частоты и редукция к укороченному волновому уравнению. Основные приближенные решения, их свойства и физический смысл.

6. Использование асимптотических методов при анализе волновых процессов. ВКБ приближение для решений волнового уравнения. Вид решения при отсутствии точек поворота. Эталонные уравнения при наличии точки поворота первого порядка. Функции Эйpи. Отражение и преломление волн. Явление просачивания.

Лабораторный практикум

  1. Асимптотические оценки и кpитеpии. Асимптотические ряды.
  2. Метод Лапласа (примеры вычисления интегралов).
  3. Метод стационарной фазы (примеры вычисления интегралов).
  4. Функции Бесселя. Определение, основные свойства, связь с другими функциями.
  5. «Почти» синусоидальные функции.
  6. Обобщенная функция. Определение, основные свойства, связь с другими функциями.
  7. Функции «включения» и «выключения» и интегральное преобразование Фурье.

Литература

а) основная литература

  1. М.В. Федорюк «Метод перевала» , Наука М., 1977.
  2. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский «Уравнения математической физики».

б) дополнительная литература

  1. В.И. Смирнов «Курс высшей математики», т.2 и т.3 часть2.
  2. Дж. Хединг «Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ)», Мир, М., 1965.
  3. Э. Копсон «Асимптотические разложения», Мир, М., 1966.
  4. Ли Цзун-дао «Математические методы в физике», Мир. М., 1965

Отчетность

  • Семестр 5: Зач Экз
  • Семестр 6: Экз