Численные методы

Кафедра информатики и автоматизации научных исследований

Специальность: Прикладная информатика

Преподаватель: Чугунов Ю.В.

Содержание дисциплины направлено на  ознакомление  студентов  с  фундаментальными понятиями, основными  определениями и методами приближенных численных вычислений, овладение математическим аппаратом,  являющимся базовым для дальнейшего обучения.

В курсе излагаются основы приближенных численных вычислений, включая интерполяцию и приближения функций, необходимые для приближенных решений уравнений, представления функций, обработки данных, численного дифференцирования и интегрирования, решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

К дисциплинам, для которых освоение данной дисциплины необходимо как предшествующее, относятся дисциплины базовой части математического и естественнонаучного цикла «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», вариативной части «Высшая алгебра» «Теория функций комплексного переменного», «Теория вычислимости».

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать основные понятия теории и практики в задачах приближения (интерполирование) функций, основные интерполяционные многочлены и оценки погрешности при их использовании, основы теории и практики приближений функций, с помощью критерия наименьших квадратов, основные методы при численном диффеpенциpовании и численном интегpиpовании.

Уметь использовать методы приближенных вычислений при решении алгебраических и трансцендентных уравнений и систем уравнений.

Иметь представление (навыки) о численных методах решения дифференциальных уравнений, обработки данных.

 

Содержание

1. Приближение (интерполирование) функций. Задача интерполирования. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа.

2. Интерполяционные многочлены. Конечные разности (определения, основные свойства). Конечные разности для многочлена. Таблицы разностей. Интерполяционные многочлены Ньютона для равноотстоящих узлов.  Оценка погрешности. Разделенные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона для неравноотстоящих узлов интерполяции. Многочлены Чебышева (определения, основные свойства). Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы с использованием многочленов Чебышева.

3. Приближение функций, с помощью критерия наименьших квадратов. Приближение функций полиномом, определенным с помощью критерия наименьших квадратов. Функция определена аналитически. Эмпирическая функция. Приближение линейной комбинацией функций, определенной с помощью критерия наименьших квадратов. Для эмпирической функции и функции, определенной аналитически.

4. Обработка экспериментальных данных. Выбор эмпирических формул для нелинейных зависимостей в задаче приближения функций с помощью критерия наименьших квадратов. Преобразование координат.

5. Методы приближенных вычислений. Метод последовательных приближений (метод итераций) для решения систем линейных уравнений. Условия сходимости итерационного процесса и оценка погрешности. Исправление элементов приближенной обратной матрицы. Отделение корней при решении алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод хорд, Ньютона для нахождения корней уравнений. Метод итераций. Условия сходимости и оценка погрешности. Метод Ньютона для нахождения корней системы двух уравнений. Метод итераций для нахождения корней нелинейной системы двух уравнений. Оценки погрешности.

6. Численное дифференцирование. Численное диффеpенциpование. Аппроксимация производных. Погрешность численного диффеpенциpования.

7. Численное дифференцирование. Численное интегpиpование. Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Использование сплайнов.

8. Численное интегpиpование дифференциальных уравнений. Одношаговый метод решения начальной задачи. Метод Рунге – Кутта. Разностные схемы решения задачи Коши.

Лабораторный практикум

  1. Метод последовательных приближений (метод итераций) для решения систем линейных уравнений.
  2. Методы итераций при решении алгебраических и трансцендентных уравнений.
  3. Методы итераций для нахождения корней нелинейной системы двух уравнений.
  4. Интерполяционные многочлены.
  5. Конечные разности.
  6. Разделенные разности.
  7. Приближение функций полиномом, определенным с помощью критерия наименьших квадратов.

Литература

а) основная литература

  1. Березин И.С., Жидков Н.П. «Методы вычислений», тт. 1,2, Наука М., 1966.

б) дополнительная литература

  1. Демидович Б.П., Марон И.А. «Основы вычислительной математики», Наука, М., 1966.
  2. Бахвалов Н.С. «Численные методы (анализ, Алгебра, ОДУ)», Наука, М., 1975
  3. Марчук Г.И. «Методы вычислительной математики», Наука, М., 1980.
  4. Дьяченко В.Ф. «Основные понятия вычислительной математики», Наука, М., 1977.
  5. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. «Вычислительные методы в двух томах», Наука, М., 1966.

Отчетность

  • Семестр 5: Зач Экз
  • Семестр 6: Экз