Дифференциальные уравнения
Кафедра теории управления и динамики систем
Специальность: Прикладная математика и информатика
Преподаватель: Гринес Е.А. Губина Е.В. Кадина Е.Ю.
«Дифференциальные уравнения» являются одной из базовых дисциплин в общем образовании математика-прикладника.
Опираясь на фундаментальные сведения из математического анализа, геометрии и высшей алгебры, «Дифференциальные уравнения» дают прикладнику одно из мощных средств анализа явлений и процессов различной природы математическими методами. Ознакомить студентов с начальными навыками математического моделирования, показать возникающие принципиальные трудности при переходе от реального объекта к его математической идеализации, показать разницу между «хорошими» и «плохими моделями» - важные естественнонаучные задачи курса.
Хорошо известно, что математическая модель какого-либо нетривиального явления или процесса лишь в исключительных случаях допускает достаточно полный анализ классическими методами теории дифференциальных уравнений. Поэтому, чтобы эти классические методы не оставались «вещью в себе» для математика-прикладника, часть времени выделяется на то, чтобы показать, как синтез классических методов теории дифференциальных уравнений с современными идеями качественных, численных и асимптотических методов, позволяет получать представление о поведении решений достаточно сложных модельных уравнений.
Содержание
1. Введение
Основные понятия и определения. Примеры описаний в форме возникновения дифференциальных уравнений. Задачи анализа и геометрии. Математические модели детерминированных явлений: вторая гипотеза Ньютона, математический маятник (линейная и нелинейная постановка задачи), колебательный контур с индуктивностью и емкостью, сравнение с моделью математического маятника, экспоненциальная модель и примеры ее использования. Идеология построения адекватных моделей сложных явлений: математическое моделирование в системе хищник-жертва, задача об орбите спутника в реальном поле тяготения Земли.
2. Уравнения первого порядка
Поле направлений, изоклины, ломаные Эйлера. Численное решение дифференциального уравнения, как задача математического моделирования. Методы первого, второго и старших порядков. Теорема о независимых интегралах уравнения первого порядка. Теорема Коши-Пикара.
Теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий. Дифференцируемость решений по начальным условиям и параметрам.
Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Однородные уравнения и приводящиеся к ним. Линейные уравнения и приводящиеся к ним. Уравнения Бернулли и Риккати, методы их решения, наличие особых решений.
Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним.
Уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Постановка задачи Коши и поля направлений, теорема о существовании и единственности решений задачи Коши. Уравнения Лагранжа и Клеро.
3. Уравнения n-го порядка
Задача Коши, граничные задачи. Общий интеграл, общее решение, промежуточные интегралы, понижение порядка уравнения с помощью интегралов. Интегрирование уравнений. Приведение уравнения n-го порядка к системе уравнений первого порядка.
4. Нормальные системы уравнений
Теорема Пикара-Коши для нормальной системы. Свойства решений нормальной системы. Теорема о степени гладкости решений. Теорема Пеано. Теорема Коши о существовании голоморфных решений нормальной системы. Теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров. Теоремы о дифференцируемости решений по начальным условиям и параметрам. Теория интегралов нормальной системы.
5. Линейные уравнения и системы
Линейные модели и принцип линеаризации. Теорема Пикара-Коши для линейных уравнений и систем. Фундаментальная система решений, теорема о существовании ФСР. Общее решение однородных уравнений и систем. Общее решение неоднородных уравнений и систем. Метод вариации постоянных, метод Коши. Формула Остроградского-Лиувилля. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения, построение фундаментальной системы решений. Линейный осциллятор, понятие о резонансе. Линейные системы с периодическими коэффициентами.
6. Системы уравнений
Система уравнений первого порядка. Система уравнений высших порядков. Каноническая система уравнений высших порядков. Автономная система и ее свойства. Динамические системы, связь между фазовыми кривыми и интегральными кривыми, автономные динамические системы, фазовая плоскость, интегральные многообразия. Системы в симметрической форме.
7. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
Определения. Теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости, устойчивости по первому приближению, теорема Четаева о неустойчивости, примеры. Изучение окрестности положений равновесия автономной динамической системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости, понятие о грубой системе, понятие предельного цикла динамической системы.
8. Построение приближенных дифференциальных уравнений
Обзор методов приближенного построения решений квазиинтегрируемых систем: прямые оценки, метод малого параметра, метод усреднения. Схема Ван-дер-Поля.
9. Уравнения в частных производных
Особенности решений, сравнение с обыкновенными уравнениями, примеры. Задача Коши. Уравнения первого порядка: линейные уравнения (характеристики, теорема об общем решении, решение задачи Коши), квазилинейные уравнения (решение в неявной форме, общее и специальное решение, решение задачи Коши). Геометрические представления в трехмерном пространстве (непрерывное векторное поле, линии поля, геометрические свойства интегральных поверхностей, характеристики и интегральные поверхности).
Отчетность
- Семестр 3: Зач
- Семестр 4: Зач Экз