Теория вероятностей и математическая статистика

Содержание

1. Теория случайных событий. Основные понятия теории вероятностей(статистически устойчивый эксперимент, элементарный исход, пространство элементарных исходов, случайное событие). Операции над случайными событиями. Алгебры и s- алгебры. Теоретико-множественная модель статистически устойчивого эксперимента. Классический, геометрический и частотный подходы к определению вероятности. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятности. Определение условной вероятности и ее свойства. Теорема умножения случайных событий. Независимость случайных событий, независимость в совокупности , свойства независимых событий. Схема Бернулли. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
2. Одномерные  случайные величины. Одномерные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Классификация случайных величин. Дискретные случайные величины. Непрерывные случайные величины. Неслучайные функций от одного случайного аргумента. Числовые характеристики случайных величин.  Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и ее свойства, среднее квадратическое отклонение. Мода, медиана, квантиль, моменты высших порядков, асимметрия, эксцесс. Некоторые важнейшие типовые распределения дискретных случайных величин (индикатор случайного события, биномиальное, гипергеометрическое, геометрическое, пуассоновское). Некоторые важнейшие типовые распределения непрерывных случайных величин (равномерное, эскпоненциальное, нормальное). Смысл параметров типовых распределений и важнейшие числовые характеристики.
3. Многомерные случайные величины.  Понятие случайного вектора. Многомерная функция распределения и ее свойства. Дискретные и непрерывные многомерные случайные величины. Маргинальные распределения случайного вектора. Статистическая независимость случайных величин.
4. Многомерные случайные величины. Условные законы распределения.  Неслучайные функций от нескольких случайных аргументов. Типовые распределения многомерных случайных величин (равномерное, нормальное). Числовые характеристики  случайного вектора. Ковариация и ее свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость между случайными величинами. Условное математическое ожидание и его свойства.
5. Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенства Чебышева. Различные виды сходимости последовательности случайных величин (сходимость по вероятности, сходимость почти всюду, сходимость в среднем, сходимость по распределению) и связь между ними. Закон больших чисел в форме Чебышева. Закон больших чисел в форме Бернулли. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин. Предельные теоремы в схеме Бернулли (теорема Пуассона, локальная предельная теорема Муавра-Лапласа, интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа).
6. Метод статистических испытаний (Монте-Карло). Основные положения метода. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения. Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону.
7. Элементы математической статистики. Предмет математической статистики и ее связь с теорией вероятностей. Прикладные задачи математической статистики. Основные понятия математической статистики (генеральная совокупность, выборочная совокупность, повторная выборка). Способы представления статистических данных (вариационный и статистический  ряды). Статистические (эмпирические) законы распределения (статистическая функция распределения, гистограмма, полигон частот). Выборочные числовые характеристики.
8. Точечное оценивание неизвестного параметра. Понятие статистической оценки. Общая постановка задачи точечного оценивания. Свойства точечных оценок( несмещенность, состоятельность, эффективность). Неравенство Рао ¾ Крамера и критерий эффективности оценок. Свойства выборочного среднего как оценки математического ожидания генеральной случайной величины. Несмещенная оценка вероятности случайного события. Несмещенная оценка дисперсии при известном и неизвестном математическом ожидании. Свойства оценки начального момента к-ого порядка. Методы построения точечных оценок (метод моментов, метод максимального правдоподобия).
9. Интервальное оценивание неизвестных параметров распределений Общая постановка задачи интервального оценивания. Центральный метод построения доверительных интервалов. Интервальные оценки для математического ожидания нормальной генеральной совокупности  при известной и неизвестной дисперсии. Интервальные оценки для дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности  при известном и неизвестном математическом ожидании. Интервальная оценка для вероятности события.
10. Проверка статистических гипотез. Задача проверки статистических гипотез. Понятие статистической гипотезы. Простые и сложные гипотезы. Правило проверки простой основной гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. Критерий Неймана – Пирсона для проверки простой основной гипотезы. Лемма Неймана – Пирсона. Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания нормальной случайной величины (левосторонний и правосторонний критерии). Связь критериев проверки параметрических гипотез и интервальных оценок. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух независимых нормальных случайных величин (с известными дисперсиями, с неизвестными равными дисперсиями). Задача проверки гипотез согласия.  Критерий согласия Хи-квадрат. Схема применения критерия при известных и неизвестных параметрах тестового распределения.  Критерий Колмогорова.
11. Элементы теории случайных процессов. Определение случайного процесса. Способы задания случайных процессов (конечномерные распределения). Классификация случайных процессов. Марковские цепи со счетным числом состояний. Классификация состояний цепей Маркова. Основная предельная теорема.

Литература

а) основная литература:

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Учебник. - М.: Эдиториал УРСС, 2005. -448 с.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.- М.: Академия,2003.
3. Контрольные работы по теории вероятностей / Составитель Сморкалова В.М.: Практикум. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2011. – 26с.
4. Практические занятия по математической статистике / Сост. В.М. Сморкалова – Н.Новгород: ННГУ, 2002. – 87с.
5. Сборник задач по теории вероятностей. Часть 1 /Сост. В.И. Мухин, В.М. Сморкалова – Н.Новгород: ННГУ, 2000. – 39с.
6. Сборник задач по теории вероятностей. Часть 2 /Сост. В.И. Мухин, В.М. Сморкалова – Н.Новгород: ННГУ, 2001. – 44с.
7. Сборник задач по теории вероятностей. Часть 3 /Сост. В.И. Мухин, В.М. Сморкалова – Н.Новгород: ННГУ, 2004. – 42с.
8. Сборник задач по теории вероятностей. Часть 4 /Сост. В.И. Мухин, В.М. Сморкалова – Н.Новгород: ННГУ, 2005. – 54с.
9. Федоткин М.А. Основы прикладной теории вероятностей и статистики. — М.:Высшая школа. 2006. - 368 с.
10. Федоткин М.А.Модели в теории вероятностей.- М., ФИЗМАТЛИТ, 2012.-608 с.

б) дополнительная литература:

1. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: Учеб. пособие для вузов/ В.А. Ватутин, Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев идр. – М.:Дрофа, 2003. -328 с.
2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Уч. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543с.
3. Ширяев А.Н. Вероятность – 1, 2. – М.: МЦНМО, 2004. - 928 с.

Отчетность

• Семестр 3: Экз
• Семестр 4: Экз