Теория вероятностей

Кафедра программной инженерии

Специальность: Прикладная математика и информатика

Преподаватель: Федоткин М.А.

Задача такой науки, как теория вероятностей, в конечном счете, состоит в выявлении и исследовании статистически устойчивых закономерностей, которым подчиняются реальные процессы и явления. Найденные закономерности имеют не только теоретическую и познавательную ценность, но и широко применяются в естествознании, технике, экономике, планировании, управлении и прогнозировании. Реальные явления, которые рассматривает и моделирует теория вероятностей, очень сложны. Они находятся под воздействием множества неконтролируемых и случайных факторов. Поэтому каждое индивидуальное проявление такого реального процесса, как правило, будет отличаться от любого другого наблюдения за этим процессом. Лишь в массовой совокупности объектов наблюдений за процессом проявляются так называемые статистические закономерности. Способы научного анализа данных, относящихся к массовым явлениям, с целью определения некоторых обобщающих эти данные характеристик, и выявление статистических закономерностей составляют предмет изучения теории вероятностей. Современная теория вероятностей даёт более широкую концепцию причинных связей между реальными процессами, позволяют найти закономерности природы там, где детерминированный подход оказывается бессильным. Например, в теории ошибок разного рода измерений, в молекулярной и статистической физике, в биологии, в рыночной экономике, в телефонии и процессах обслуживания, в процессах адаптивного управления и принятия решений, в управлении конфликтными транспортными потоками и т. д.

Целями освоения дисциплины являются:

  • изложение общих основ теории вероятностей с использованием подхода Колмогорова;
  • знакомство с методами математического описания и изучения показаний измерителей результатов статистически устойчивого эксперимента;
  • построение и изучение вероятностных моделей семейства измерителей статистически устойчивых экспериментов;
  • анализ интегральных характеристик вероятностных моделей измерителей статистически устойчивых реальных процессов;
  • изучение функциональной и статистической зависимости между измерителями статистически устойчивых экспериментов;
  • исследование наиболее распространённых и типичных вероятностных моделей измерителей результатов статистически устойчивого эксперимента.

Для изучения материала курса «Теория вероятностей» необходимы знания математики в объеме университетской программы. Кроме того, для освоения курса теории вероятностей и математической статистики следует особо представлять все разделы курса «Вероятностные модели» и владеть следующими важными разделами математики:

а) элементы функционального анализа, теории интегрирования и теории меры;

б) основы по теории множеств;

в) навыки математического моделирования и программирования;

Освоение данной дисциплины необходимо для изучения следующих курсов: "Теория вероятностей и математическая статистика", "Управляемые случайные процессы обслуживания", "Статистика случайных процессов", "Вероятностные модели в финансовой математике", "Современные проблемы прикладной теории вероятностей", "Современные проблемы прикладной статистики", "Дополнительные главы теории вероятностей и математической статистики", "Робастное управление"

Содержание

  1. Простейшие методы исчисления теории вероятностей. Элементы основания теории вероятностей и вероятностное пространство Колмогорова. Верхний предел последовательности случайных событий. Нижний предел последовательности случайных событий. Общие свойства вероятностной функции от случайных событий. О случайном бросании точки на действительную прямую и конструктивное задание борелевской σ-алгебры.
  2. Одномерные случайные величины. Вероятностные модели измерителей исходов статистически устойчивых экспериментов. Одномерные случайные величины и их законы распределения. Классификация случайных величин. Теорема Лебега. Построение выборочного вероятностного пространства по интегральной функции распределения. Производящие функции и характеристические функции.
  3. Многомерные случайные величины. Понятие о случайных векторах, многомерные функции распределения и их свойства. Дискретные и непрерывные многомерные случайные величины. Условные законы распределения, статистическая зависимость случайных величин. Формула полной вероятности и Байеса в случае несчетного числа гипотез. Законы распределения функций от случайных аргументов.
  4. Числовые характеристики одномерных случайных величин. Свойства математического ожидания, дисперсии, начального и центрального моментов высших порядков, коэффициента асимметрии, эксцесса, моды, медианы, квантилей. Неравенства Чебышева. Тестовые одномерные случайные величины и их законы распределения.
  5. Элементы теории корреляции. Числовые характеристики системы случайных величин: математическое ожидание, ковариация, дисперсия, коэффициента корреляции. Основные свойства ковариации и коэффициента корреляции случайных величин. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость между случайными величинами. Условные математические ожидания случайных величин. Регрессия случайных величин и линии регрессии.

Литература

а) основная литература:

  1. Федоткин М.А. Лекции по анализу случайных явлений. Учебник. — М.: Наука–Физматлит, 2016. 464 с.
  2. Федоткин М.А. Модели в теории вероятностей. Учебник. — М.: Наука–Физматлит, 2012. 608 с.
  3. Свешников А.А. и др. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. — Санкт Петербург, Лань, 2007. 445 с.
  4. Федоткин М.А. Основы прикладной теории вероятностей и статистики. Учебник. — М.: Высшая школа, 2006. 368 с.

б) дополнительная литература:

  1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Учебник. — М.: Эдиториал УРСС, 2005. 448 с.
  2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Академия, 2003. 576 с.
  3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т. —  M.: Мир, 1984. Т. 1, 528 с. Т. 2, 738 с.

Отчетность

  • Семестр 5: Зач