Уравнения математической физики

Содержание

1. Введение. Постановки задач с уравнениями математической физики

1.1. Вводная часть. Обзор основных разделов курса. Некоторые вопросы истории и примеры.

1.2. Вывод основных уравнений математической физики Уравнение поперечных колебаний струны и продольных колебаний стержня. Электромагнитное поле и сведение уравнений Максвелла к волновым уравнениям. Распространение тепла и уравнение теплопроводности. Основные граничные условия.

1.3. Постановка начально-краевых и граничных задач. Корректность задачи и пример Адамара.

2. Элементарные методы решения основных задач

2.1. Метод бегущих волн. Формула Даламбера.

2.2. Метод продолжения в задачах на полупрямой.

2.3. Элементы анализа  размерности и построение автомодельных решений в задачах с уравнением теплопроводности.

2.4. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и формула Пуассона решения задачи с уравнением теплопроводности на прямой.

2.5. Метод продолжения в задачах с уравнением теплопроводности на полупрямой и отрезке.

3. Метод Фурье и теория оператора Штурма-Лиувилля

3.1. Схема метода Фурье. Построение собственного базиса. Обобщенный ряд Фурье. Примеры.

3.2. Явление резонанса. Коэффициенты обобщенного ряда Фурье в резонансном случае.

3.3. Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции и собственные значения. Их свойства. Вещественность собственных значений. Ортогональность собственных функций.

3.4. Обращение оператора Штурма-Лиувилля. Построение обратного оператора. Собственные функции и собственные  значения обратного оператора. Неравенство Бесселя. Локализация собственных значений оператора Штурма-Лиувилля.

3.5. Итерированные  ядра и степени обратного оператора. Теорема о разложении итерированных ядер в ряд по собственным функциям  оператора Штурма-Лиувилля.

3.6. Функции, представленные через ядро. Теорема Гильберта-Шмидта. Теорема Стеклова и обоснование метода Фурье.

4. Начально-краевые задачи в пространстве 2-х и 3-х измерений

4.1. Постановка основных задач.

4.2. Проекционный метод Фурье. Построение обобщенных рядов Фурье по собственным функциям оператора. Свойства собственных функций и собственных значений оператора Лапласа.

4.3.Примеры решения типовых задач. Задачи о колебаниях круглой и прямоугольной мембран. Задачи о колебаниях объемов. Задачи теплопроводности в пространстве 2-х и 3-х измерений.

5. Теория специальных функций

5.1. Разделение переменных в задаче о собственных функциях оператора Лапласа в цилиндрических координатах.

5.2. Функции Бесселя и Неймана. Общие цилиндрические функции.

5.3. Ортогональность цилиндрических функций.

5.4. Разложение в ортогональный ряд по функциям Бесселя.

5.5. Разделение переменных в задаче о собственных функциях оператора Лапласа в сферической системе координат.

5.6. Полиномы Лежандра. Общие ортогональные многочлены и их свойства.

5.7. Общие сферические функции и разложение в ряд по сферическим функциям.

5.8. Шаровые функции и их свойства.

6. Теория потенциала

6.1. Основные задачи с уравнениями эллиптического типа. Задачи Дирихле и Неймана. Электростатические аналогии.

6.2. 2-я теорема Грина. Функция Грина и представление решений задач Дирихле и Неймана с помощью функций Грина.

6.3. Примеры построение функций Грина.

6.4. Основное интегральное соотношение теории гармонических функций.

6.5. Потенциалы простого и двойного слоя.

Отчетность

• Семестр 6: Зач
• Семестр 7: Экз