Вероятностные модели

Кафедра программной инженерии

Специальность: Прикладная математика и информатика

Преподаватель: Федоткин М.А.

Математические методы изучения реальных процессов легко объяснить с общих позиций. Строится математическая модель реального эксперимента. Затем средствами математики исследуется модель, и результаты интерпретируются применительно к исходному процессу. Этот путь позволяет открыть закономерности реального мира. Большая часть математических представлений о реальном мире носит детерминированный характер, хотя природа в действительности является стохастической и неопределенной. Детерминированные модели всегда будут слишком грубым приближением действительности. Однако построение вероятностных моделей и их анализ доставляют математикам значительные трудности. Возрастающий интерес за последнее десятилетие к построению вероятностных моделей, так называемых, статистически устойчивых экспериментов объясняется, прежде всего, развитием современных средств компьютерных технологий. Появилась возможность хранения, поиска и обработки больших массивов вероятностно-статистической информации о реальных объектах.

Целями освоения дисциплины являются:

  • знакомство с методами построения и анализа адекватных вероятностных моделей реальных процессов и явлений простейшего типа;
  • критическое знакомство с решениями конкретных задач на вероятностное моделирование с целью усвоения основных понятий, положений и идей прикладной теории вероятностей;
  • изложение современной теории построения адекватных вероятностных моделей;
  • развитие интуиции вероятностного мировоззрения на мир.

Для освоения материала курса необходимы знания математики в объеме университетской или вузовской программы. Кроме того, для освоения курса «Вероятностные модели» следует особо выделить следующие разделы математики:

а) элементы теории множеств;

б) начальные сведения по комбинаторному анализу и дискретной математике;

в) элементы теории меры;

г) элементы математического моделирования.

Содержание

  1. Методы построения теоретико-множественной модели случайных экспериментов. Основные понятия при построении теоретико-множественной модели случайных экспериментов. Задание реальных экспериментов. Статические и эволюционные эксперименты. Классификация реальных экспериментов. Предмет теории вероятностей с точки зрения построения вероятностных моделей статистически устойчивых экспериментов. Свойство регулярности случайных экспериментов, их допустимые и элементарные исходы. Случайные события, их классификация и операции над ними. Основные законы теоретико-множественных операций над событиями. Теоретико-множественная модель статистически устойчивых экспериментов и s-алгебра наблюдаемых событий. Примеры и интерпретация простейших s-алгебр наблюдаемых событий случайного эксперимента.
  2. Вероятностные модели классических случайных экспериментов. Понятие вероятности на интуитивном уровне. Отношение правдоподобия между случайными событиями и субъективное измерение шанса появления случайного события. Классическое определение вероятности и различные способы построения вероятностных моделей для опытов с конечным множеством равновозможных элементарных исходов. Геометрические вероятности и построение вероятностных моделей для случайных экспериментов с несчётным множеством равновозможных элементарных исходов.
  3. Вероятностные модели произвольных случайных экспериментов. Свойства относительной частоты появления события и эмпирический подход к приближенному вычислению вероятности исходов случайных экспериментов. Аксиоматическое определение вероятностной функции, и её простейшие свойства. Подход Колмогорова к построению общей вероятностной модели статистически устойчивых экспериментов. Обоснование парадоксов при построении вероятностных моделей классических экспериментов с помощью подхода Колмогорова..
  4. Вероятностные модели условных случайных экспериментов. Понятие об условном эксперименте. Определение условной вероятности и его обоснование. Построение унифицированной и локализованной вероятностных моделей условных экспериментов. Теорема умножения и математическое описание независимости случайных событий. Формула полной вероятности и теорема Байеса. Вероятностная модель схемы независимых испытаний Бернулли. Приближенные формулы для биномиальных вероятностей.

Литература

а) основная литература:

  1. Федоткин М.А. Лекции по анализу случайных явлений. — Учебник. М.: Наука–Физматлит, 2016. 464 с.
  2. Федоткин М.А. Модели в теории вероятностей. — Учебник. М.: Наука–Физматлит, 2012. 608 с.
  3. Свешников А.А. и др. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. — Санкт Петербург. Лань. 2007. 448 с.
  4. Федоткин М.А. Основы прикладной теории вероятностей и статистики: учебник. — М.: Высшая школа, 2006. 368 с.

б) дополнительная литература:

  1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Учебник. — М.: Эдиториал УРСС, 2005. 448 с.
  2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Академия, 2003. 576 с.
  3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т. — M.: Мир, 1984. Т. 1, 528 с. Т. 2, 738 с.
  4. Свешников А.А. Прикладные методы теории вероятностей. — Санкт Петербург, Лань, 2012. 480 с.

Отчетность

  • Семестр 4: Зач